作者 | 康明昌
来源 |《数学传播》2021年第45卷第3期（179），[好玩的数学]获授权转载，在此感谢！
ISI（Indian Statistical Institute）1931 年和 P.C. Mahalanobis（1893
加尔各答(Calcutta)、 孟买(Bombay)、 邦加罗尔(Bangalore) (注1) 现在已改名为Kolkata、 Mumbai、 Bengaluru。
ISI 成立之初, 校方只提供一间工作室让ISI 的人员使用, 至于运作经费与管理维修则由Mahalanobis 设法自行解决。从ISI 走向世界的学者至少有两位, 一位是C. R. Rao (1920
Homi Bhabha 在Cavendish 实验室工作, 他原本是Paul Dirac (1902
Bhabha 在1940 年回印度度假, 却因二次大战的缘故, 无法回到英国工作。他只好留在IISc 工作。他的运气不错, 他有一个杰出的博士班学生Harish-Chandra (1923
Homi Bhabha 很早就认识核物理对于印度国防、 经济与科学发展的重要性。他在1940 年代初期向Tata 基金会寻求财政支援(Sir Dorabji Tata Trust), 1945 年担任TIFR 的所长。初始的目的是研究核物理与宇宙线。Bhabha 的远见之一是把数学也纳入他的研究所(School of Mathematics), 培育许多世界一流的数学家。
印度许多第一代的代数几何学者都是出身于TIFR, 如：M. S. Narasimhan (1932
1. Mahalanobis
Prasanta Chandra Mahalanobis(1893
Mahalanobis出生在加尔各答一个富裕的婆罗门家庭, 1912年在Presidency College (Calcutta University) 物理系毕业。1913
他原先的计划是到伦敦大学念书。开学之前, 他到剑桥大学(Cambridge University) 游览。King’s College华丽的教堂与精美的内饰使他大为震撼。在流连徘徊于剑桥的自然与人文景致之际, 他竟错过回伦敦的最后一班火车。
当晚他借住在剑桥友人的宿舍。朋友劝他：「你这么喜欢这里的建筑, 何不留下来在这里念书?」
第二天他到King’s College 面试。有意思的是, 他居然被录取。从此他留在剑桥大学(注2)。
1914年他通过剑桥的毕业考(Mathematical Tripos, Part I), 1915年他通过另一个毕业考(National Sciences Tripos, Part II), 完成剑桥大学的学业。他还获得一份奖学金, 准备跟随C. T. R. Wilson (1869
在进入Cavendish 实验室之前, 他计划回印度短期度假(1915年7月)。可是第一次世界大战已经爆发(1914年7月), 船班不太稳定, 他只好在图书馆消磨时间, 等待船班。
这时他遇见Macaulay。Francis Macaulay (1862
Macaulay 向他推荐一份刚装订好的期刊Biometrika (注3)。Mahalanobis 浏览了几篇文章, 就决定购买一整套的Biometrika, 从第一期到最近一期, 以便在船上阅读。
回到印度之后, Presidency College 邀请他到物理系任教, 因为有一位老师受征召入伍, 留下一些课程需要有人接手。Mahalanobis 答应帮忙。1916 年成为Presidency College 物理系教师, 从此他再也没有回到Cavendish 实验室。
Mahalanobis 认为统计学是一门新兴的科学领域, 从分析各种数据, 可以得到新的资讯, 提供决策参考。从1920 年代初期, Mahalanobis 把统计学应用到许多领域, 如：人类学、 气象学、 农学、 经济学。他的物理实验室慢慢地有一些人对统计学产生兴趣, 有人戏称他们是统计实验室。
1931 年12 月17 日ISI 成立, Mahalanobis 担任ISI 的主任与秘书, 初期的ISI 经费拮据, 只能聘请兼职人员与研习生(trainee)。1947年印度独立, ISI 才获得大量经费补助, ISI 因此突飞猛进。
1959 年印度政府授予ISI 一项殊荣：Institution of National Importance, ISI 不但经费充裕, 可以自行聘用教授、 副教授, 还可以颁授学位(博士、 硕士、 学士)。
Mahalanobis 不是一个书斋型的学者, 他参与许多文化与社会活动, 他是印度政府第二个经济五年计划的起草人。他与印度各个政党的领袖都有极深的交情, Raman (1930 年诺贝尔物理奖得主) 曾这样描述Mahalanobis：他永远知道面包的哪一面是涂上黄油的
2. C. R. Rao
Calyampudi Radhakrishna Rao (1920)
C. R. Rao 出生在印度东南方滨海的地区Andhra (约在马德拉斯北方)。他的父亲是个警官, 工作地点经常变换；他的母亲是传统的家庭主妇, 生养了十个小孩。他们在印度种姓制度下是属于第三种姓(注4)。
C. R. Rao 家的女孩是不受教育的, 男孩子由他的母亲管教上学。C. R. Rao 描述小时候他的母亲如何管教他们。每天早晨四点钟, 她总会把 C. R. Rao 唤醒, 点亮煤油灯督促他温习功课。
1940 年C. R. Rao 以Andhra 大学数学系第一名的成绩毕业。他原先想继续念硕士学位, 却因申请文件没有及时送达而没有录取。
之后他参加公职考试, 结果也失败了。这时第二次世界大战已经爆发(1939年), 英国军方在印度招募到北非工作的测量人员。C. R. Rao 千里迢迢地坐了500 里的火车从南印度到印度北方的加尔各答。他因年龄不满20 足岁(他是9 月10 日出生的) 不被录取。
在加尔各答旅馆有人告诉他ISI 有一个统计实习生的训练计划。第二天他到ISI 面试, 很幸运的, 他被录取了。
1941 年他考入加尔各答大学的统计研究所, 1943 年完成硕士学位, 随即被ISI 聘用。
King’s College (剑桥大学) 遗传学教授R. A. Fisher 是Mahalanobis 的好朋友。1946 年剑桥大学的人类学博物馆获得一批考古队发掘的人类骨骼, 他们需要有人帮忙分析鉴定。C. R. Rao 熟悉D2-statistics (Mahalanobis distance) 的方法, 因此被派往King’s College。
在博物馆工作之外, 他还到Fisher 的遗传学实验室学习, 并修习博士课程。1948 年获得博士学位, 完成许多研究成果, 如：Cramer-Rao 不等式、 Rao-Blackwell定理、 Rao’s score test。
1948 年C. R. Rao 回到ISI, 1949 年升教授, 这时他才29 岁。之后他负责ISI 教学、 研究、 训练实习生的工作, ISI 的名声蒸蒸日上。
Mahalanobis 与C. R. Rao 的眼光并不局限于统计学。他们也愿意发展数学、 资讯科学、 经济学等相关领域。
在 1956
他们的研究兴趣是机率、 李群及其表示论。名义上C. R. Rao 是他们博士论文的指导教授, 他对于这些领域其实所知有限, 但是他仍然鼓励这些学生听从内心的召唤, 追求他们喜爱的研究领域。见
Varadarajan 于1957
印度的制度要求教授在年龄满60 岁时退休, 因此C. R. Rao 在1979 年离开ISI, 到美国匹兹堡大学任教, 1988 年Penn. State U. in Pittsburgh 以讲座大学的头衔邀请C. R. Rao 到PSU in Pittsburgh。
在美国工作了三十多年的C. R. Rao 始终生气勃勃。2002年他获颁National Medal of Science, 现在是百岁人瑞。
3. Harish-Chandra (1923∼1983)
Homi J. Bhabha (1909
1941 年他被选为伦敦皇家学会会员(FRS), 1945 年创立TIFR (见本文第一段), 1966 年死于空难。
Bhabha 在1940 年回印度度假, 却因第二次世界大战(1939 年) 无法回英国工作, 这时C. V. Raman (1930 年诺贝尔物理奖得主) 刚好是IISc 物理系的系主任, 他劝Bhabha 留在IISc 工作(物理系副教授)。就在IISc, Harish-Chandra 成为Bhabha 的博士班学生。
Harish-Chandra在坎普尔(Kanpur, 北印度的大城) 出生。1943 年他获得Univ. of Allahabad 的物理硕士学位(注6), 主考官是C. V. Raman；Raman 在考试后鼓励他到IISc 念博士学位, 他因此成为Bhabha 的学生。
由于Bhabha 的推荐, 二次大战结束后不久, Harish-Chandra 也来到Gonville and Caius College, 成为Dirac 的学生, 1947 年获得物理学博士学位。
1947
1944 年Dirac 关于Lorentz group (注7) 的文章发表(无穷维表示论)。很快的有三组数学家完成无穷维表示的分类：一组是Harish-Chandra, 他还是个物理学家, 一组是V. Bargmann, 他是Princeton 大学理论物理教授, 另一组是前苏联的I. M. Gelfand 与M. A. Naimark；Gelfand (1913
Harish-Chandra 到Princeton 之后, 才发现他的证明有许多漏洞, 他很懊恼地告诉Dirac。Dirac 冷淡地回应：「我对证明不感兴趣, 我只关心『自然的力量』(Nature) 在做什么。」 Harish-Chandra 觉得自己实在缺乏物理学家应该具备的神秘第六感(物理直观), 他应该从物理转向数学
1952
由于Harish-Chandra 在李群与李代数表示论的成果, 他获得美国数学会1954 年的Cole Prize (注8)。
Harish-Chandra 是1958 年Fields Medals 评选时强劲的候选人之一。他与R. Thom (1923
将近三十多年的研究生涯Harish-Chandra 集中在半单李群与化约群(reductive groups) 的表示论, 由这些群产生的齐性空间(homogeneous spaces) 的调和分析理论(如：Plancherel formula)。
Harish-Chandra 的论文, 除了一篇与A. Borel 合写的之外, 都是单一作者(single author), 可以说, 他单独建立他的表示论与调和分析的理论。
Harish-Chandra 喜欢简朴深入的思考。在IISc 时, 他常常陪Raman 散步。他与Bhabha 的关系似乎比较疏远；Bhabha 来自富裕家庭, 具有精湛的艺术修养。在Princeton 时, 他喜欢Chevalley 与Artin 的课, 对Weyl 的课则不太欣赏。
Harish-Chandra 的名字本来叫做Harishchandra。有些印度人的名字并不区分first name 与last name (注10)。
为什么会有”-” (hyphen) 出现, 是因为他早期一篇物理论文的编辑加上去的, 他也欣然接受这个新的名字Harish-Chandra。因此她的女儿名叫Premela Chandra.
4. K. Chandrasekharan
Komaravolu Chandrasekharan (1920
Rau 比有名的Ramanujan 年轻6 岁, 但是境遇顺遂许多。他与Ramanujan 在Cambridge 认识, 两人成为好朋友。他是G. H. Hardy 的学生, 回到印度后他任教于Presidency College Madras.
Rau 有许多有名的学生：S. S. Pillai (1901
Pillai 的专长是数论与Waring’s problem
Minakshisundaram 是分析学家(PDE, Laplace operators), 他提出heat equation 的方法, 影响了后来Atiyah-Bott-Patodi 的工作
KC 在Princeton 高等研究院(IAS) 担任博士后研究助理, 其中有一年是Weyl 的助理。他跟Princeton 大学的教授S. Bochner合作, 因此学到了多变数的Fourier series 与Fourier transforms. 此外他还认识许多有名的数学家, 如: C. L. Siegel、 A. Selberg、 von Neumann。这几年的经验彻底地改变KC。KC 的研究专长是解析数论。
1949 年Homi Bhabha 到Princeton 访问, 邀请KC 担任TIFR 的教授, KC 邀请Siegel 的学生K. G. Ramanathan (1920
TIFR 在1945 年成立时, Bhabha 只找到两个数学家: D. D. Kosambi 及F. W. Levi, 但是数学所的工作并没有活络起来(注11)。
KC 不只是优秀的数学家, 他还擅长行政与组织工作。在KC 与Ramanathan 的领导之下, TIFR 才成为数学研究的卓越中心。
5. 助理研究员形成的研究团队
1950年代与1960年代的印度学制, 高中毕业后的大学教育需要五年, 前两年称为Intermediate, 后三年称为Honors (Mathematics Honor, Statistics Honor, Physics Honor)。以优异的成绩取得Honors学位的人通常被视为具有硕士学位的程度。
KC 与Ramanathan 的眼光放在招募一批优秀的Mathematics Honors 的毕业生, 他们进TIFR 的目的是写博士论文, 因此形成一个新世代的研究团队。他们进来的时候都只是助理研究员(博士班学生), 以后随着研究表现, 其待遇与职称也跟着提升。例如：M. S. Narasimhan 与C. S. Seshadri 是同一年(1953年) 进入TIFR 当助理研究员, 后来逐步升到副教授(Reader) 与教授(Professor)。
Raghavan Narasimhan, S. Ramanan与C. P. Ramanujam在1957年加入TIFR (助理研究员)。注意, C. P. Ramanujam与著名的S. Ramanujan姓氏字母的拼法相差一个字母。
1960 年代初期R. Narasimhan 研究多复变函数论的Levi’s problem (Hartogs’ inverse problem), 他推广了Oka 与Remmert 的定理, 被邀请到ICM Stockholm (1962年) 演讲。
根据R. Narasimhan 的回忆
KC 运用他的人际关系聘请第一流的学者来讲学, 讲学的时间大约是两个月或更久。
Warren Ambrose (MIT教授) 在1953 年到TIFR 讲学。第一堂课上完, 学生纷纷表示不懂「拓扑空间」是什么。于是Ambrose 花了三个小时讲了点集拓朴的基本事项, 然后证明Haar measure 的存在性与the spectral theorem, 最后证明Peter-Weyl 定理
第二年Samuel Eilenberg (哥伦比亚大学教授) 来教代数拓扑。他不着痕迹地采用category 与functor 的观点教代数拓扑, 而category 与functor 这些字眼完全没有在他的演讲出现。
接着(1955年) Laurent Schwartz (1950 年Fields 奖得主) 来开「复流形」的课, M. S. Narasimhan 负责为这门课做笔记。
KC的构想是挑选一个学生为一个客座教授的演讲作笔记。学生不懂的地方当然要回去跟老师讨论厘清, 这些笔记都要公开发行。如此, 每个客座教授做完一系列的演讲, 至少有一个学生了解大部分的演讲内容。这是KC 训练研究生的方法。
现在世界的知名大学都收藏TIFR Lectures on Mathematics and Physics。
M. S. Narasimhan (1932
Seshadri 在巴黎参加Chevalley 研讨会, M. S. Narasimhan 的指导教授是Schwartz。
KC从国际数学家联盟(IMU) 争取一笔经费, 每四年在TIFR 办理一次会议(International Mathematics Colloquium), 从1956 年开始, 主题是：
(*) zeta functions (1956年),
(*) function theory (1960年),
(*) differential analysis (1964年),
(*) algebraic geometry (1968年).
这些会议变成IMU主办的仅次于ICM (国际数学家大会) 的重要会议, 其会议论文集也变成该领域的重要参考文献。
1965 年9 月KC 离开TIFR, 任教于瑞士的ETH (Zürich), 他留在瑞士直到2017年去世(注12)。Homi Bhabha在1966年1月死于空难。
KC为何离开TIFR, 相信他与Bhabha有过严重的冲突。可是至今为止并没有可靠的资料足以说明内情(注13)。
6. Father Racine
Fr. C. Racine (1897
他是Elie Cartan的学生(1934年博士), 他与Leray、 Weil、 Henri Cartan、 Delsarte
Racine在1950年代初期在Madras大学作过几场「Sheaf Theory」的演讲。想想看, 在1950年代初期全世界有几个大学能做这样的演讲? Racine 还替德国的期刊Zentralblatt Math. 写过两篇关于Leray 的review articles。
Racine 本人不从事数学研究, 可是他的数学视野却是宽广而深入的。当时印度数学界还笼罩在Hardy 式的数学氛围(「summability」等题材)。Weil说：「Hardy 带坏许多印度数学家。但是Ramanujan 太好了, Hardy 无法带坏他。」
Racine 本人喜欢在课余时间找学生聊天, 培养他们的数学品味(taste)。他告诉他们什么样的数学才是好的数学, 什么样的数学经得起咀嚼。
受Racine 薰陶的学生日后都成为印度数学界的领导人物, 例如, 在上一节出现过的Ramanathan, M. S. Narasimhan, C. S. Seshadri, Raghavan Narasimhan, C. P. Ramanujam。
他引导这些学生去学习核心的数学领域, 鼓励他们参加TIFR 助理研究员的甄试。他在1940 年代就认识KC 与Ramanathan, 他知道他们在TIFR 想要做一番什么样的事业。
Racine 在1967 年退休回到法国。可是他在印度扎的根太深了, 他深爱这块土地。不久他重返Loyola College Madras, 直到1976 年去世。
7. 向量丛所形成的参模空间
M. S. Narasimhan 与C. S. Seshadri 在向量丛参模空间(the moduli space of vector bundles) 的工作把拓扑的方法与代数几何的方法结合起来, 这个突破鼓舞TIFR 许多人从事向量丛与代数几何的研究。
我们将采用以下的符号：
X：紧致连通的黎曼面；
rkE, 向量丛 E 的阶数, 即 ;
degE，向量丛 E 的次数, 即 , 其中 n=rkE；
若
U(n,d)={[E]:[E]是向量丛E的同构类且 rkE=n,degE=d}.
1961
但是人们对于rkE
定义1：酉丛与不可约酉丛(Weil, J. Math. Pures et Appl. 17(1938), 47-87) 设 是亏格≥2的黎曼面, 是其通用覆盖空间, 因此 , 其中 是 的基本群。令 是 维复系数向量空间, 是酉群 (即 . 对于任意的表示 , 恒可造出一个阶数为 的向量丛 如下：若 , 定义
考虑映射 , 其诱导的商映射 形成 的一个阶数为 的酉丛(unitary bundle), 其中 .
当 是不可约表示, 称为表示 所定义的不可约酉丛(irreducible unitary bundle)。
可以证明 .
定义集合
M. S. Narasimhan 与C. S. Seshadri 证明：有一种方法可以使 变成复流形(Math. Ann. 155(1964), 69-80)。
Harvard 大学年轻的代数几何学者 David Mumford 在 ICM Stockholm (1962年) 发表几何不变量(GIT) 的演讲。
定义2：稳丛与半稳丛(stable bundle, semi-stable bundle) 全纯向量丛 叫做稳丛(半稳丛), 如果对于任意的子丛 恒有以下不等式：
M. S. Narasimhan 与 C. S. Seshadri 得知 Mumford 的稳丛与半稳丛的概念之后, 立即想到这些概念与酉丛可能会有一些联系。
他们证明：若 , 则 是稳丛的充分必要条件是 为不可约酉丛(Ann. Math. 82(1965), 540-567)。事实上当 是 的稳丛, 也有类似酉丛的建构方法(只是在定义1, 要把基本群用一类fuchsian group 代替。)
定义集合
回忆一下
定义集合
也可写成
Narasimhan-Seshadri 定理证明在 具有复流形的结构(1964年)。Seshadri 进一步证明 具有正则射影多样体的结构(Ann. Math. 85(1967), 303-336)。
Mumford 在ICM Stockholm (1962年) 证明 具有平滑的拟射影多样体的结构。因此Seshadri 的定理可解释成： 是 的自然紧致化(canonical compactification)。Seshadri 的方法可以推广到 。
M. S. Narasimhan 与 S. Ramanan 证明 在恰好是 的奇异点, 除了一个特殊情形(Ann. Math. 89(1969), 14-51)。这个特殊情形是 且 (即 的情形)。这些特殊情形蕴含一些有趣的几何结构, 见[21, p.22]，[25, p.xxiv-xxv]。
此外, Narasimhan 与 Harder、 K. Okamoto、 S. Kumar、 M. Nori 也有许多重要的合作工作 [25] (注14)。
8. 早夭的英才
C. P. Ramanujam (1938
Ramanujam 对于许多数学分支都有深刻的理解, 不管它是复杂的解析数论或是抽象的Grothendieck 式的代数几何
Raghunathan 在1960 年加入TIFR, 他回忆说
Ramanujam 替一些知名的访问教授作演讲纪录, 如：M. Deuring (1958
1962 年Ramanathan 引导Ramanujam 从事Waring problem 的研究, 他推广Davenport 的方法。1964 年他被诊断出严重的精神分裂症(schizophrenia)。此后十年就是病痛与研究交织的日子。病症来的时候, 他变得精神抑郁。病症去的时候, 他就有许多精采的研究成果。
1970
此外Ramanujam 另有一个有名的定理。他用拓扑的方法(contractible 与simply connected at infinity) 刻画仿射平面 [18, p.636]。
Ramanujam 得病之后, 他搜集与这病症相关的许多文献, 并且仔细研读。最后他得到一个结论：这病痛是治不好的。他因此走上自杀之路。
Ramanujam 去世两年之后, TIFR 蒙受另一个损失。这次是 V. K. Patodi。
Vijay Kumar Patodi (1945
在1969 年底Patodi 看到McKean 与Singer 合写的一篇论文, 这篇论文用到Minakshisundaram (见本文第4 节开头, 他是K. A. Rau的学生之一) 关于紧致流形上Laplace 算子的理论。这篇论文有一个尚未解决的猜想, 这个猜想的目的是想提供另一种证明Gauss-Bonnet 定理的方法。Patodi 开始研究这个猜想。几个月后, 他解决这个猜想, 他的论文《Curvature and the eigenvalue of the Laplace operator》在J. Differential Geometry 出现。Singer 邀请他到MIT 访问, 他因此认识Atiyah 与Bott。
Patodi 继续发展第一篇论文的方法, 他完成第二篇论文《An analytic proof of the Riemann-Roch-Hirzebruch theorem for Kähler manifolds》也在J. Differential Geometry刊登。1971年他获得博士学位。
1971
Patodi 是个耆那教徒(Jain), 要遵守严格的饮食戒律。1976 年他获升TIFR 的教授。但是他的肾功能已衰竭到十分严重的情形。医生为他安排一个肾脏移植手术；手术还没进行, 他已病情恶化, 不治去世。
9. 展望
印度数学家没有人得过Fields Medal, 但是有两位印度裔数学家得到Fields Medal。他们是Bhargava (ICM 2014) 与Venkatesh (ICM 2018)。
Manjul Bhargava (1974.8.8) 出生于加拿大一个印度家庭, 但是在美国长大(Long Island)。他的母亲是Hofstra 大学的数学家。他在Harvard University 念完大学(1996年), 在Princeton 大学取得博士学位(2001年), 指导教授是Andrew Wiles, 他是证明Fermat 最后定理的有名数学家。Bhargava 现在是Princeton 大学的教授。
Bhargava 的博士论文推广Gauss 在二次型的合成方法(《Higher composition law》)。在2015 年他与Arul Shankar 证明BSD 猜想(注16) 对于许多椭圆曲线是成立的。(椭圆曲线 是根据它的height编序的。) 见Ann. Math. 181 (2015), 191-242; ibid. 181(2015), 587-621。Shankar 来自Chennai (Madras), 是Bhargava 的学生(2012 年Princeton 大学博士)。
Bhargava 是TIFR 的兼任教授。他的祖父Purushottam Lal Bhargava 是知名的梵文学者(Sanskrit)。受祖父的影响Bhargava 很喜欢梵语诗歌。
Akshay Venkatesh (1981.11.21) 出生于新德里(New Delhi)。他两岁时全家移民到澳大利亚。他的母亲是Deakin 大学的computer science 教授。他在Princeton 大学完成博士论文(1988
Venkatesh 的研究主题是把解析数论、 homogeneous dynamics、 代数拓朴与表示论综合起来。
Venkatesh 的工作不但解决过去长期无法解决的一些问题, 他还领先探讨某几个数学领域过去不为人知的联系, 这为未来的数学家开辟一个更开阔的天地。
印度自从1947 年独立之后, 政府挹注更多经费在科学研究。ISI 因此迅速扩张, 现在ISI 在印度各地至少有10 个分支机构：ISI Kolkata, ISI New Delhi等, 并且它还扩及其他领域。此外印度政府建立许多以训练工科学生为主的Indian Institute of Technology, 如IIT Mumbai, IIT Chennai 等。近年这些IIT 聘请许多美国、 欧洲获得博士学位的科学家与数学家, 使IIT 从工科大学慢慢转型为综合性大学。印度的科学研究人力大幅提升。
但是学术水平的跃进需要领导者的远见与工作人员高昂的士气。印度数学界在1950 年代挟印度独立建国之后的新锐之气, 加上Homi Bhabha、 K. Chandrasekharan 的高瞻远瞩, 以及一批年轻学生(如：M. S. Narasimhan、 C. S. Seshadri、 R. Narasimhan、 S. Ramanan、 Raghunathan等) 的努力, 在短短二十年间建立国际闻名的数学中心。未来印度数学界能不能再造佳绩, 像是1950
后记
印度知名的数学家有两个人本文没有介绍：S. Chowla (1907
