首先看抽样信号的频谱：
因此，抽样信号的频谱由于抽样冲击序列频谱的周期性，而被周期拓展了。
上图清晰地表明了一个时域连续信号被抽样离散以后，其频谱是如何获得了周期拓展这个过程的。
下面看看频域离散是如何对应时域周期的：
图1
上图可以和下图的DTFT对比：
显然，图1表示在区间［0, 2π］上对x(n)的傅里叶变换X(ejω)的N点等间隔采样。将X(k)看做长度为N的有限长序列xN(n)的DFT，即
下面推导序列xN(n)与原序列x(n)之间的关系，并导出频域采样定理：
将图1代入上式得到：
由于图1可以表示由已知频谱x(k)倒推时域信号x(n),因此上图的推导过程中，我们可以认为是由已知的频率采样点得出的离散时间序列x(m)与原序列x(n)存在周期关系
上图说明，X(z)在单位圆上的N点等间隔采样X(k)的N点IDFT是原序列x(n)以N为周期的周期延拓序列的主值序列。综上所述，可以总结出频域采样定理：
上述推导应用了如下定理：
如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数N≥M时，才有
xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n)
即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。
上述频域离散导致时域信号周期性的原因其实就在于
这个单位圆等间隔取样函数的周期性引起的必然结果。
因此：
1：时域离散导致频域周期的原因在于冲击采样序列函数的频域周期性。
2：频域离散导致时域周期的原因在于单位圆等间隔采样函数的周期性。
