庞加莱猜想是数学中的一个重大猜想，自它诞生之后，吸引了无数顶尖数学家前仆后继。它是极其深奥的谜团，数学家们花了100年才终于将之破解。
亨利·庞加莱，1854年生于法国南锡，他集数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家多个头衔于一身。他在几乎所有数学分支都有很深的造诣，被认为是最后一位全能型数学家。庞加莱于1904年提出了那个后来被称为“庞加莱猜想”的著名拓扑学问题。
拓扑学研究的是几何图形或空间在连续改变形状后仍保持不变的性质，它不关注寻常的“形状”或是“大小”，而关注“洞”的数量等一些性质。比如在拓扑学中，盘子和球都没有洞，两者是等价的，也就是这两者“同胚”。
人们最初是如何证明地球是球形的呢？ 16世纪，麦哲伦的船队从西班牙出发，横渡大西洋、太平洋、印度洋绕地球一圈回到了西班牙，完成了人类第一次环球航行。由此他们宣称证明了地球是球形的。
但从讲究严格逻辑证明的数学上来说，这种证明方式实际是有逻辑漏洞的，因为甜甜圈或游泳圈的形状也能让人绕其一圈回到原点。
那么在不离开地球表面的情况下，如何严格证明地球的形状呢？假设把一根足够长的绳子的一端固定在出发点上，拿着另一端绕地球一圈后回到出发点，然后同时拉绳子的两端，如果绳子在不离开表面的情况下能被拉回来，就证明地球是球形的。这就是从二维表面上证明一个物体是不是球体的方法。
我们生活在三维空间中，似乎不可能到宇宙之外“俯瞰”这个宇宙，那么该怎么在宇宙内部确定宇宙的形状呢？
把之前那个假设从二维换到三维空间，一根足够长的绳子的一端固定在地球上，宇宙火箭拉着绳子的另一端绕宇宙一圈后回到地球。如果绳子能拉回，那么就可以证明宇宙的形状为球形；如果绳子被卡住收不回来，那么宇宙可能是甜甜圈之类的形状。
庞加莱猜想的通俗解释是：如果环绕的绳子能收回，那么就证明宇宙是球形的。用数学语言来描述是：任何一个单连通的，封闭的三维流形都与三维球面同胚。
庞加莱猜想的进展
庞加莱猜想是拓扑学中的一个有着基本意义的顶级难题，很多顶尖的数学家花费几十年心血也未能攻克它。其中一个很难绕开的数学家是克里斯托·帕帕奇拉克普罗斯，因他的名字太长太难念，所以人们都称呼他为“帕帕”。帕帕证明了三个非常重要的定理，其中包括著名的“迪恩引理”。之后他全身心投入研究庞加莱猜想，似乎把证明庞加莱猜想当成了生命的意义。最后他患上了胃癌，带着遗憾离开了人世。
来自德国的数学家沃尔夫冈·哈肯也曾沉迷于研究庞加莱猜想，甚至因为焦躁一度得了暴食症，多亏了他的家人把他重新引领回了正常世界。之后，他得以摆脱证明庞加莱猜想的执念，去研究别的难题，最后证明了著名的四色定理。
庞加莱猜想之所以难以证明，一个非常重要的原因是“绳子缠绕”问题。史蒂文·斯梅尔决定另辟蹊径，把问题放到比三维更高的维度去研究，因为“绳子缠绕”问题在高维度的空间中不会发生。这就类似于过山车轨道在二维地面上的投影是相互缠绕的，但是实际上它在三维空间中是错开的、没有缠绕的。斯梅尔证明了高维庞加莱猜想：如果N维宇宙空间（N大于等于5）里环绕的绳子能全部收回，则N维宇宙是球形的。斯梅尔因为这一创举于1966年获得了被誉为“数学界诺贝尔奖”的菲尔兹奖。
1981年，迈克尔·弗里德曼证明了四维空间的庞加莱猜想，获得了1986年菲尔兹奖。
威廉·瑟斯顿经过多年研究，提出了一个十分宏大的猜想：不论宇宙是什么形状，都一定可以分解为最多8种不同的标准几何结构。这个猜想被称为“几何化猜想”。瑟斯顿凭借这个成果获得了1982年的菲尔兹奖。而庞加莱猜想只是几何化猜想的一个特例。
佩雷尔曼证明庞加莱猜想
2002年到2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼在互联网上陆续发了三篇重要的论文，论文的内容是用微分几何学和热力学的方法来证明几何化猜想和庞加莱猜想。
佩雷尔曼从小就展露出极高的数学天赋，16岁时以满分的成绩获得了1982年国际数学奥林匹克竞赛金牌。他解题又快又简洁，竞赛中那些最高难度的问题，他也能够轻松解答。另外他在物理方面的才能也很强。1994年，佩雷尔曼证明了许多数学家努力30年也未能解决的超级难题——“灵魂猜想”。
佩雷尔曼证明几何化猜想和庞加莱猜想的论文极其简洁，其中省略掉了他认为理所当然的细节，让人难以读懂。六个数学家分成三个小组来分别核实佩雷尔曼的证明。整个核实工作花了2年左右，最终确认佩雷尔曼证明了几何化猜想和庞加莱猜想。
佩雷尔曼因这一杰出成就获得了2006年的菲尔兹奖，不过他拒绝去领菲尔兹奖章和奖金。庞加莱猜想是克雷数学研究所在2000年选定的每个悬赏100万美元的七个“千年大奖问题”之一。佩雷尔曼也拒绝了这100万美元的奖金。他还拒绝了多个世界名校的聘请，在荣誉达到巅峰时退出了数学界，隐居在圣彼得堡，后来更是几乎任何人的拜访都很难见他一面。
佩雷尔曼的生活并不富有，他过着拮据而简单的生活，贵一点的水果也不舍得买。既然如此他为什么拒绝丰厚的奖金和崇高的荣誉呢？也许是因为他的生活准则和一般大众不太一样，他珍视自己简单而自由的生活，不想被打扰，不想被金钱和荣誉所累。他取得伟大的数学成就想必离不开他那颗纯粹的心。
传闻说佩雷尔曼喜欢到圣彼得堡郊外的森林去采集蘑菇。或许对他来说，采集蘑菇的乐趣比名利重要得多。
庞加莱猜想历经一个世纪最终得以被证明，显示了人类非凡的智慧，这一伟大成果也必会载入史册。它将继续指引着我们去了解更多宇宙形状的奥秘。
