据说，罗素悖论的通俗版本是理发师悖论，但这只是一种调侃，真从悖论的角度说它俩不一样。从逻辑观点出发，理发师悖论很好消解——不存在这样的理发师，但是罗素悖论不能这样一笔带过。
曾经它引发了地震，导致了集合论的巨大危机，但是现在看来，悖论不是坏事，而且它的破坏力没有曾经想的那么大。它虽然发端于基础，但“上层”理论并未受到影响。和悖论和平相处，根据对悖论的解决来发展逻辑和其它问题，这也使得悖论成为理论发展的内在驱动力之一。
恩斯特·策梅洛，这位几乎有“公理集合之父”称呼的人，第一个用公理化方法打算重整集合论，消除罗素悖论，使之有一个相对牢固的基础。他引入了一个公理——子集合分离公理(以下简称分离公理)。
这是个啥？
我们连同罗素悖论一起说明。
以前，我们给定一个条件(或者性质)，然后说根据这个条件就形成一个集合，这种方式是康托尔先给出的，我们叫它概括原则，然而正是它引发了罗素悖论。
符号∈表示属于；∉表示不属于；→表示推出、蕴含；↔表示当且仅当。
罗素悖论的意思是，既然你对任意对象都可以概括，那好啊，我先给出条件x∉x，x是任意对象【条件的意思是说，任意对象x都不是自己的元素】，然后我让所有满足这个条件的对象x形成一个集合T(概括原则保证T是集合)，即T={x丨x∉x}，然后我问：
T∈T吗？
【你可能会好奇：能问集合A是否属于自己的问题吗？答案是：能！集合论的研究对象只有集合，我们可以指着任意一个集合问，这个集合属于某某集合吗？这个集合包含于某某集合吗？这些都是合法的问题，而且答案也都是非此即彼】
现在看罗素悖论：
T∈T→T符合条件x∉x→把x换成T→T∉T
T∉T→T符合条件x∉x的否定形式即：x∈x→把x换成T→T∈T
于是我们有T∈T↔T∉T。
面对这个棘手的问题，我们看看策梅洛的做法：
他将概括原则进行了限制，他说：我们要求先给定一个集合，在这个集合内，由任意条件可以形成集合。这就是子集合分离公理！由任意条件形成的集合必然是已经给定集合的子集合，这是它名字的由来。
现在我们证明：如果分离公理成立，那么罗素悖论不会产生。如果感觉有困难可以跳过去。
对于给定的集合s，利用条件x∉x分离出集合b={x丨x∈s∧x∉x}，于是b是s的子集。那么，b或者属于b或者不属于，二者必居其一。
【“∧”是“且”的意思，条件x∈s∧x∉x的意思是说：对象x是集合s中满足条件x∉x的那一个】
1)如果b∈b，那么根据b的定义有b∉b，矛盾。所以b∉b。
2)现在假设b∉b。如果我们从b∉b又得到b∈b，那就说明还在罗素悖论里转圈。
我们来证明这是不可能的。
因为b={x丨x∈s∧x∉x}，那么满足条件x∈s∧x∉x的x都是b的元素，所以x∉b就会满足这个条件的否定：x∉s∨x∈x。把x换成b，有b∉s∨b∈b。【a∧b的否定是：a否定∨b否定，∨是“或”的意思，x∉s∨x∈x表示：x∉s和x∈x有一个成立，整个表达式就成立】
因为1)已经否定了b∈b，所以可以得到b∉s。
即b∉b→b∉s。
我们没有得到结论b∉b→b∈b，从而没有再陷到罗素悖论中。
分离公理是整个集合论公理体系的第一批公理之一。是它终结了罗素悖论、否定了“一切集合的集合”的存在，为公理体系给予了强有力的支撑。后来弗兰克尔等人又提出替换公理(不需要知道它的内容)，人们发现分离公理是替换公理的推论，这立刻就引发了疑问：按《几何原本》，公理之间不应该是相互独立的吗，既然替换公理能推出分离公理，那我们就保留替换公理好了，为啥还要留着分离公理，这不是多余吗？
分离公理虽然被证实是一个推论，但是一方面因为它实在太好用又太常用，所以为了避免每次都强调它是替换公理的推论，就将它单独拿出来，另一方是为了纪念这位伟大的“公理集合论之父”恩斯特·策梅洛，我们认可他对集合论公理化做的先驱性工作，所以我们保留了他一开始构建体系时的那些公理。
这套体系相当有名，叫ZFC——策梅洛-弗兰克尔-选择公理体系。
恩斯特·策梅洛
